miércoles, 13 de abril de 2011

¿Por qué no se enseña cálculo dimensional en primaria?


En mi (breve) experiencia como profesor particular de Matemáticas, he observado dos dificultades que se repiten con frecuencia entre los alumnos. Dos obstáculos que se podrían superar fácilmente con unas nociones básicas de cálculo dimensional, una herramienta matemática que, si mal no recuerdo, no me enseñaron hasta la universidad.

La primera dificultad es la traducción de los enunciados textuales de los problemas al lenguaje matemático. Ante un típico problema de regla de tres, el alumno no sabe qué cantidades poner en el numerador, y cuáles en el denominador. Por ejemplo:

Un operario conduce una máquina que pinta una línea continua en una carretera. La máquina se desplaza a una velocidad de 25 km/h. Si con un litro de pintura, que cuesta 2 euros, se pintan 10 metros de carretera, y la máquina consume 6 litros de gasolina, a 1,5 euros el litro, cada 100 kilómetros. ¿Qué longitud de carretera pintará el operario en su jornada laboral de 8 horas? ¿Cuánto dinero costará?

El alumno duda. ¿Qué tiene que hacer? ¿Multiplicar la velocidad por el precio de la gasolina? ¿Dividir? Dejémoslo aquí por ahora.

El segundo obstáculo llega más tarde, cuando se introducen las ecuaciones. Al alumno le cuesta comprender cómo tiene que operar con las incógnitas. Ve números mezclados con letras y se asusta. No sabe qué hacer con las "x".

¿En qué consiste el cálculo dimensional? Básicamente, el cálculo dimensional nos dice que podemos operar con las dimensiones o unidades de la misma manera que lo hacemos con los números. Igual que sabemos que 7·7=72, podemos calcular el área de un cuadrado de 2 metros de lado como 2 m · 2 m = 2·2 m·m = 4 m2. La velocidad, que se mide en metros/segundo, se obtiene de dividir una distancia, medida en metros, entre el tiempo que se tarda en recorrerla, medido en segundos. Y, de la misma manera que podemos simplificar cantidades cuando aparecen repetidas en el numerador y el denominador de un cociente, también podemos simplificar unidades; por ejemplo, cuando multiplicamos una velocidad (longitud/tiempo) por un tiempo, el resultado es una longitud:


Equipados con este nuevo conocimiento, podemos afrontar ahora el problema inicial. En primer lugar, escribimos todas las cantidades del problema con sus unidades: la velocidad de la máquina es de 25 km/h, el precio de la pintura es de 2 €/l, la pintura cunde 10 m/l, o sea, 0,1 l/m, la gasolina cuesta 1,5 €/l y la máquina consume (6 l)/(100 km) = 0,06 l/km. La primera pregunta nos pide una longitud. Como sabemos la velocidad de la máquina, y el tiempo que dura la jornada laboral, no tenemos más que multiplicar:


Para responder a la segunda pregunta, tenemos que sumar el coste de la gasolina y el coste de la pintura. La gasolina cuesta 1,5 €/l. Multiplicando por el consumo: 1,5 €/l · 0,06 l/km = 0,09 €/km. Y por la distancia recorrida: 0,09 €/km · 200 km = 180 18 €. La pintura cuesta 2 €/l. 2 €/l · 0,1 l/m = 0,2 €/m. 200 km = 200.000 m. 0,2 €/m · 200.000 m = 40.000 €. El coste total será 40.000 € + 180 € = 40.180 € 40.000 € + 18 € = 40.018 €.

¿No es más fácil y más comprensible así? Pues me consta que, al contrario, hay maestros que fuerzan a sus alumnos a hacer todas las operaciones con los meros números, y sólo les dejan poner las unidades en el resultado final.

Para la segunda dificultad, necesitamos introducir un nuevo concepto, que podríamos llamar el teorema de Ana Botella (véase el vídeo): no podemos sumar peras y manzanas, sólo podemos sumar peras con peras y manzanas con manzanas. En general, sólo podemos sumar cantidades que tengan las mismas dimensiones: metros con metros, metros cuadrados con metros cuadrados, litros/hora con litros/hora, etc. Con esto en mente, para enfrentarse con una ecuación basta pensar que la "x" se comporta como una de esas dimensiones, es simplemente otra letra, con la que se puede operar igual que con la m de los metros o la s de los segundos. Entonces, sólo podemos sumar entre sí los términos de una ecuación que tengan la misma potencia de x. Por ejemplo:


Fácil, ¿no?

PD.: Ya sé que el cálculo dimensional es mucho más complejo que lo que he mostrado aquí, pero estamos hablando de niños de primaria. ¡Algo hay que dejar para la universidad!

11 comentarios:

  1. No se. A mi, en octavo de EGB, mi profesor de quimica nos enseño "factores de conversion", que viene a ser parecido lo que tu cuentas aqui, pero para convertir de unas unidades a otras. Por ejemplo: para pasar de metros a pies, solo hace falta multiplicar por algo que tenga metros en el divisor y pies en el numerador (obvio).

    Bueno, pues creo que de una clase de veinte personas el unico que los usaba y los entendia era yo. Los demas preferian usar regla de tres, porque les parecia mas facil.

    Asi que, a lo mejor estas generalizando algo que a ti te parece mejor/mas logico. O a lo mejor es que mi profesor lo enseñaba mal. O a lo mejor es que los demas alumnos eran un poco ceporros.

    No se...

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  2. Muy bueno y clarificador pero la LOGSE (y su hermanita LOE) están en nuestra contra. Gracias por tu participación

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  3. ¿La gasolina no son 18 euros? ¿Y el total 40.018 euros?

    Un saludo

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    1. Tienes toda la razón. Gracias por avisar; lo corrijo.

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  4. No es nada. Hice el cálculo de forma rápida y me fallaba algo, así que lo comprobé más cuidadosamente. Adelante con la divulgación científica, que es la cultura lo que hace que el mundo pueda llegar a ser mejor algún día.

    Un saludo
    Myg

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  5. No me gusta, y menos para alumnos de primaria que lo que tienen es que aprender a pensar y no hacer calculos de forma mecanica y saber por que el resultado que da es por ejemplo en metros y no porque sea el resultado de tachar arriba y abajo.
    Lo importante es interpretar el problema y los resultados. A los factores de conversión les veo bastantes incoherencias matemáticas: tenemos que operar por ejemplo con 1km/1000m (yo no se lo que es eso). no es lo mismo que x/100y ya que x e y son variables.

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  6. Precisamente para eso sirve el cálculo dimensional, para entender por qué se opera de una manera y no de otra, y no hacer los problemas "de forma mecánica" sin entender por qué, sólo porque el profesor o el libro dicen que se hace así.
    Ahora, una vez que se ha entendido e interiorizado el método, ¿por qué va a estar mal hacer los problemas "de forma mecánica"? Todos escribimos de forma mecánica, conducimos de forma mecánica... y nadie se escandaliza. No debería ser necesario inventar la rueda cada vez.

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  7. Sigo sin entender por que se utilizan los factores de coversión para cambiar de unidades, me parece que es un artilugio redundante, pretencioso, conceptualmente enrevesado para lo conceptualmente simple. Si establezco que 1km=1000m por definición, en cualquier fórmula donde aparezca 1km lo puedo sustituir por 1000m sin más complicaciones. En los factores de conversión partimos siempre de la premisa de que 1km=1000m para demostrar que 1km=1000m lo cual es una redundancia ,pérdida de tiempo y devanamiento de sesos innecesarios. He llegado a oir sandeces como que la regla de tres es decadente, sería tambien decadente la proporcionalidad entre magnitudes o la función de proporcionalidad lineal, o el teorema de Tales por que a alguien se le ocurra un artilugio chapucero para simplificar cualquier tipo de cálculo.

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  8. "en cualquier fórmula donde aparezca 1km lo puedo sustituir por 1000m sin más complicaciones"

    ESO es utilizar factores de conversión para cambiar de unidades. Ni más ni menos.

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  9. Cuando se opera con dimensiones algebraicamente debe tenese en cuanta que son constantes y no variables. 1km y 1000m hacen referencia a la misma constante y puedo utilizarlos indistintamente.

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